代数学の基本定理
中3の生徒さんに二次方程式の復習をしてもらっている.昨日その生徒さんから「二次方程式にはいつも二つ解があるんですか」と聞かれた.大変良い質問です.
(複素数係数の)1次方程式には一つ,二次方程式には二つ,三次方程式には三つ・・・n次方程式にはn個の解が,複素数の範囲に重複を含めて数えれば存在する.証明はガウスという偉い人が200年くらい前にやっているけど,解析関数を使った方法しか塾長は知らず,これは完全に高校範囲外で中学生には説明できない.高校生にもわかるくらいの証明って存在するんだろうか.
追記.本棚にあった高木貞治「代数学講義」を眺めてみたら,初等的な複素平面の話(ほとんどただの平面ベクトル)と連続性から基本定理が証明されていた.これなら予備知識がほとんどなくても理解できるかもしれん.