代数学の基本定理

中3の生徒さんに二次方程式の復習をしてもらっている．昨日その生徒さんから「二次方程式にはいつも二つ解があるんですか」と聞かれた．大変良い質問です．

（複素数係数の）1次方程式には一つ，二次方程式には二つ，三次方程式には三つ・・・n次方程式にはn個の解が，複素数の範囲に重複を含めて数えれば存在する．証明はガウスという偉い人が200年くらい前にやっているけど，解析関数を使った方法しか塾長は知らず，これは完全に高校範囲外で中学生には説明できない．高校生にもわかるくらいの証明って存在するんだろうか．

追記．本棚にあった高木貞治「代数学講義」を眺めてみたら，初等的な複素平面の話（ほとんどただの平面ベクトル）と連続性から基本定理が証明されていた．これなら予備知識がほとんどなくても理解できるかもしれん．

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