京大特色入試

うちの1年生用数学テキストに「円周上にn等分点をとり，その中から異なる3点を選んだとき，鋭角三角形になる確率を求めよ」という問題がある．有名問題なので毎年どこかの大学で出題されているものだ．この問題でn→∞とすると，円周上に異なる3点をとったときに鋭角三角形となる確率を求めよ，という連続バージョン問題に変形できる．この連続バージョンについては，n有限の粒々計算から無限大に飛ばすようなやり方だけでなく，初めから連続変数で考えることもできる．3点の位置を円弧の長さか角度で表して，それらの動き得る領域の体積を考えれば良いのだ．ちょっとだけ測度論的確率ぽい雰囲気が味わえるんですわ．

で，この問題を解説してたら，3年生の生徒さんが「2016年京大特色入試の問題もそれでいけるのでは」と言い出した．この問題は「円周上にn等分点を取り，その中から異なる3点を選んだときの三角形の面積の期待値を求め，n→∞の極限を求めよ」というものだった．確かに，上に書いた方法でも扱えそうなのでやってみたら，n有限の時よりもずっと楽な計算で答えが出た．なるほど．

ちなみに京大特色入試（理学部）は，学力試験が数学だけ（ただし共通テストで7割くらい必要）という，数学マニア専用の試験である．塾長はこっそり「変態入試」と呼んでいる．一般入試とは難易度も出題の方向性も異なっていて，なかなか面白い．制限時間内では塾長は完答できない自信がある．

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